Topologia WM-MA-TP

Celem przedmiotu jest zapoznanie studenta z podstawami topologii ogólnej. Z pojęciem przestrzeni topologicznej, bazy, pełnego układu otoczeń, z operacjami na przestrzeniach topologicznych i ich niezmiennikami. Także własnościami przestrzeni topologicznych, takich jak aksjomaty oddzielania, zwartość, metryzowalność.

W cyklu 2022/23_Z:

Treści merytoryczne:
1. Przestrzeń metryczna, metryka, kula, zbiór otwarty, domknięty, topologia, wnętrze domknięcie zbioru, zbiory gęste i brzegowe, zbiory ograniczone, granica ciągu. Baza przestrzeni topologicznej, metryki równoważne.
2. Operacje na przestrzeniach metrycznych. Podprzestrzeń, iloczyn kartezjański.
3. Przestrzeń metryczna całkowicie ograniczona i przestrzeń metryczna zupełna, twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
4. Zastosowanie twierdzeń Banacha i Baire'a.
5. Przestrzeń topologiczna. Aksjomaty oddzielania T1, T2, T3, T4, przykłady.
6. Dalsze przykłady przestrzeni topologicznych. Własności.
7. Przekształcenia ciągłe. Definicja przekształcenia ciągłego, warunki równoważne. Homeomorfizmy. Pojęcie własności topologicznej.
8. Niezmienniki przekształceń ciągłych.
9. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.
10. Gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.
11. Zwartość. Przykłady.
12. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych. Uzwarcenie.
13. Continua.
14. Własności multiplikatywne.
15..Metryzowalność przestrzeni.

W cyklu 2023/24_Z:

W cyklu 2024/25_Z:

Dyscyplina naukowa, do której odnoszą się efekty uczenia się

matematyka

E-Learning

W cyklu 2023/24_Z:

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

W cyklu 2024/25_Z:

E-Learning

W cyklu 2022/23_Z:

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Grupa przedmiotów ogólnouczenianych

nie dotyczy

Opis nakładu pracy studenta w ECTS

wykład: uczestnictwo w zajęciach 30h, egzamin 2h, przygotowanie do egzaminu 8h, przygotowanie do zajęć 10h, Razem 50 godz co daje 2 punkty ECTS ćwiczenia: uczestnictwo w zajęciach 30h, , przygotowanie do zajęć 25h, prace domowe 20h. Razem 75 godz co daje 3 punkty ECTS

Poziom przedmiotu

średnio-zaawansowany

Symbol/Symbole kierunkowe efektów uczenia się

MA2_W01, MA2_W02, MA2_W03 MA2_U01, MA2_U03, MA2_U04, MA2_U08; MA2_K02

Typ przedmiotu

obowiązkowy

Wymagania wstępne

Analiza I, Logika i teoria mnogości, Wprowadzenie do topologii i jej zastosowań.

Koordynatorzy przedmiotu

Lidia Waśko

Efekty kształcenia

Wykład:
MA2_W01Posiada pogłębioną wiedzę z topologii.
MA2_W02 Rozumie znaczenie rozumowania i konstrukcji przykładów w topologii.
MA2_W03 Zna najważniejsze twierdzenia z topologii ogólnej, w szczególności Twierdzenie Baire'a, Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna, Twierdzenie Tichonowa.
Zna najważniejsze przykłady przestrzeni topologicznych i ich własności.
Ćwiczenia:
MA2_U01Potrafi dowodzić proste twierdzenia i konstruować przykłady przestrzeni topologicznych świadczące o istotności założeń oraz o nieprawdziwości hipotez.
MA2_U03 Potrafi sprawdzić poprawność dowodu.
MA2_U04 Rozumie znaczenie własności struktur formalnych w topologii.
MA2_U08 Posiada umiejętności rozpoznawania struktur topologicznych w obiektach matematycznych występujących np. w geometrii lub analizie matematycznej; potrafi wykorzystać podstawowe własności topologiczne zbiorów, funkcji i przekształceń ciągłych.
MA2_K02Jest gotów i potrafi formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania.

Kryteria oceniania

Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:
ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć)
ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny
ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny
ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu – z wyraźną przewagą pozytywów – i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny
ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny
ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją

Literatura

W cyklu 2022/23_Z:

Literatura podstawowa:
1. R. Engelking, K.Sieklucki, Geometria i topologia, część II Topologia, PWN, Warszawa 1980.
2. R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1976.
B. Węglorz, Topologia, Warszawa 2017.
Literatura uzupełniająca:
1. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I Geometria, PWN, 1980.
2. W. Kulpa, Topologia a ekonomia,
Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2009.
3. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,
PWN, Warszawa 1972.

W cyklu 2023/24_Z:

W cyklu 2024/25_Z:

Więcej informacji

Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:

Matematyka - studia II stopnia stacjonarne

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu WM-MA-TP w USOSweb