Arytmetyka i algebra z elementami dydaktyki (sem. 1) WM-P-PSM-AiAzD1

Treści merytoryczne przedmiotu:
1. Zbiory. Relacje porządku i równoważności w zbiorze. Relacja pomiędzy dwoma zbiorami, wykres, funkcja.
2. Oś liczbowa jako uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych. Działania i operacje algebraiczne: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie, pierwiastek, potęga, logarytm. Właściwości i kolejność działań.
3. Od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych: liczny naturalne, zero, liczby ujemne, ułamki, liczby wymierne, liczby niewymierne. Różne sposoby zapisu liczb i odpowiednie algorytmy wykonywania działań algebraicznych: - ułamki, liczby dziesiętne, liczby mianowane, procenty.
Systemy liczbowe.
4. Liczby całkowite jako klasy równoważności w zbiorze par liczb
naturalnych. Liczby wymierne jako klasy równoważności w zbiorze par liczb całkowitych. Istota i sens pojęcia różnicy i ilorazu.
5. Algorytm dzielenia liczb całkowitych z resztą. Arytmetyka modulo. Cechy podzielności. Rozwiązywanie równań liniowych w zbiorze liczb całkowitych. Rozwiązywanie kongruencji. Chińskie twierdzenie o resztach.
6. Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Liczby względnie pierwsze. Największy wspólny dzielnik liczb m,n - NWD(m,n). Algorytm Euklidesa. Twierdzenie Bezout NWD(m,n)= sm+tn. Uogólniony algorytm Euklidesa.
7. Zasada dobrego uporządkowania liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych. Ciągi rekurencyjne.
8. Podstawowe struktury algebraiczne: grupa, pierścień, ciało. Przykłady: zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zbiory wielomianów, zbiory Zp ( reszty z dzielenia przez p ).
9. Proporcje. Proporcjonalność prosta: wykres funkcji liniowej, ilustracja graficzna, właściwości. Skala. Proporcjonalność odwrotna: ilustracja graficzna, właściwości.
10. Od arytmetyki do algebry. Rozwiązania arytmetyczne i algebraiczne zadań z treścią ( ten sam algorytm obliczeń ). Przykłady.
11. Intuicyjny sens rozwiązania arytmetycznego odpowiadającego algebraicznej metodzie eliminacji kolejnych niewiadomych. Eliminacja jednej z dwóch niewiadomych - domniemane ( wirtualne ) dane. Eliminacja jedynej niewiadomej - domniemana ( wirtualna) odpowiedź z proporcją w tle.
12. Proporcjonalność odwrotna a podział proporcjonalny odcinka. Współrzędne punktu P dzielącego odcinek w stosunku t : s. Stężenie mieszaniny roztworów. Położenie środka masy układu dwóch ciał. Zasada działania dźwigni.
13. Punkty i wektory na płaszczyźnie. Współrzędne kartezjańskie. Działania algebraiczne na wektorach: dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę - interpretacja geometryczna. Równoległość wektorów a twierdzenie Talesa.
14. Przestrzeń liniowa (wektorowa) i jej struktura. Liniowa zależność (niezależność) wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie.
15. Macierze. Działania algebraiczne na macierzach. Nieprzemienność mnożenia macierzy. Macierz transponowana. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy.
16. Wyznacznik macierzy kwadratowej. Właściwości i sposoby obliczania wyznaczników. Metoda Sarrusa. Rozwinięcie Laplace'a. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy.
17. Zastosowania wyznaczników. Rząd macierzy. Kryterium liniowej niezależności wektorów. Odwracalność macierzy i wyznaczanie macierzy odwrotnej. Objętość równoległościanu, pole powierzchni równoległoboku.
18. Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych a twierdzenie Kroneckera-Capelliego o istnieniu i liczbie rozwiązań.
19. Postać naturalna, wektorowa i macierzowa układu równań liniowych. Trzy wersje rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych metodą eliminacji kolejnych niewiadomych. Metoda przeciwnych współczynników, metoda wektorówortogonalnych
i metoda eliminacji Gaussa.
20. Metody rozwiązywania układów równań liniowych typu Cramera. Wzory Cramera. Metoda macierzy odwrotnej.