Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą szeregów potęgowych- zajęcia fakultatywne WM-MA-S2-E1-RRR

Wykład poświęcony bardziej zaawansowanym zagadnieniom z teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Wykład ten można traktować jako kontynuację
obowiązkowego wykładu z równań różniczkowych.

Zaczniemy od równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu o analitycznych (czy ogólniej meromorficznych) współczynnikach. Znajdziemy rozwiązania takich równań w~postaci szeregów potęgowych (w~punktach nieosobliwych)
i~szeregów Frobeniusa (w~punktach osobliwych regularnych). Umożliwi to nam badanie wielu ważnych równań prowadzących do funkcji specjalnych takich jak: równanie Hermite'a, równanie hipergeometryczne, równanie Legendre'a, konfluentne równanie hipergeometryczne, równanie Bessela i~inne.

Zajmiemy się też analitycznym przedłużaniem rozwiązań i grupami monodromii, które doprowadzą nas do XXI problemu Hilberta (problemu Riemanna-Hilberta).

Postaramy się również opisać rozwiązania równań wokół punktów osobliwych nieregularnych. Takie rozwiązania dane są w~postaci szeregów rozbieżnych. Aby móc je lepiej zrozumieć powiemy o~rozwinięciach asymptotycznych, zjawisku Stokesa i sumowalności w sensie Borela.

Zajmiemy się też teorią perturbacji oraz równaniami nieliniowymi, w szczególności bujnie się rozwijającą teorią równań Painleve.